*** Distance à une courbe

Dans un repère orthonormal, on considère la parabole  $\mathcal{P}$ d’équation $y=x^2$ , le point $\text{A}(1;-1)$ et  $\text{M}$ un point de  $\mathcal{P}$ d’abscisse  $x$ , où  $x$ est un réel.
On cherche à savoir s'il existe un point  $\text{M}$  de   $\mathcal{P}$ tel que la distance $\text{AM}$ est  minimale.

1. Déterminer, pour tout réel $x$ , la distance  $\text{AM}$  en fonction de $x$ . On note cette distance $f(x)$ .

2. Montrer que, pour tout réel  $x$ ,  $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{p(x)}{\text{AM}}}$  où $p$  est un polynôme de degré 3.
3. a. Étudier les variations de $p$  sur $\mathbb{R}$ .
    b. Démontrer que l’équation $p(x)=0$ admet une unique solution  $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ .
    c. Déduire des questions précédentes le signe de $p(x)$ .

4. Répondre à la question initialement posée.

5. Démontrer que, si  $\text{M}$  est le point de   $\mathcal{P}$ tel que la distance $\text{AM}$   est minimale, alors la droite  $(\text{AM})$  est perpendiculaire à la tangente à  $\mathcal{P}$ au point  $\text{M}$ .